코딩테스트/이코테
7. 최단 경로 알고리즘
tout l'été
2023. 11. 16. 15:12
안녕하세요. 😊
오늘은 최단 경로 알고리즘 에 대해 정리해보려고 합니다.
최단 경로 알고리즘
- 최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미
- 다양한 문제 상황
- 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
- 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
- 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
- 각 지점은 그래프에서 노드로 표현
- 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현
다익스트라 최단 경로 알고리즘 개요
- 특정한 노드 에서 출발하여 다른 모든 노드 로 가는 최단 경로를 계산
- 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작
- 현실 세계의 도로(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않습니다.
- 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류됨
- 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택 해 임의의 과정을 반복
다익스트라 최단 경로 알고리즘
- 알고리즘의 동작 과정 은 다음과 같습니다.
- 출발 노드를 설정합니다.
- 최단 거리 테이블을 초기화합니다.
- 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택합니다.
- 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신합니다.
- 위 과정에서 3번과 4번을 반복합니다.
- 알고리즘 동작 과정에서 최단 거리 테이블은 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 가지고 있습니다.
- 처리 과정에서 더 짧은 경로를 찾으면 '이제부터는 이 경로가 제일 짧은 경로야' 라고 갱신합니다.
다익스트라 알고리즘 특징
- 그리디 알고리즘 : 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복합니다.
- 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않습니다.
- 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있습니다.
- 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장됩니다.
- 완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 합니다.
다익스트라 알고리즘 : 간단한 구현 방법
- 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 테이블의 원소를 확인(순차 탐색)합니다.
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력 받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m) :
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b, c))
# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node() :
min_value = INF
index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
for i in range(1, n + 1):
if distance[i] < min_value and not visited[i] :
min_value = distance[i]
index = 1
return index
def dijkstra(start) :
# 시작 노드에 대해서 초기화
distance[start] = 0
visited[start] = True
for j in graph[start] :
distance[j[0]] = j[i]
# 시작 노드를 제외한 전체 n - 1 개의 노드에 대해 반복
for i in range(n - 1):
# 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
now = get_smallest_node()
visited[now] = True
# 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
for j in graph[now] :
cost = distance[now] + j[i]
# 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[j[0]] :
distance[j[0]] = cost
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1) :
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF :
print("INFINITY")
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else :
print(distance[i])
다익스트라 알고리즘 : 간단한 구현 방법 성능 분석
- 총 O(V) 번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 합니다.
- 따라서 전체 시간 복잡도는 O(V²)입니다.
- 일반적으로 코딩 테스트의 최단 경로 문제에서 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라면 이 코드로 문제를 해결할 수 있습니다.
- 하지만 노드의 개수가 10,000개를 넘어가는 문제라면 어떻게 해야 할까요?
우선 순위 큐(Priority Queue)
- 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조
- ex) 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건 데이터로부터 꺼내어 확인해야 하는 경우에 우선순위 큐를 이용할 수 있습니다.
- Python, C++, Java를 포함한 대부분의 프로그래밍 언어에서 표준 라이브러리 형태로 지원 합니다.
| 자료구조 | 추출되는 데이터 |
| 스택(Stack) | 가장 나중에 삽입된 데이터 |
| 큐(Queue) | 가장 먼저 삽입된 데이터 |
| 우선순위 큐(Priority Queue) | 가장 우선순위가 높은 데이터 |
힙(Heap)
- 우선순위 큐(Priority Queue)를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나입니다.
- 최소 힙(Min Heap) 과 최대 힙(Max Heap) 이 있습니다.
- 다익스트라 최단 경로 알고리즘을 포함해 다양한 알고리즘에서 사용됩니다.
힙 라이브러리 사용 예제 : 최소 힙
import heapq
# 오름차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable) :
h = []
result = []
# 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
for value in iterable :
heapq.heappush(h, -value)
# 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
for i in range(len(h)) :
result.append(-heapq.heappop(h))
return result
result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)
다익스트라 알고리즘 : 개선된 구현 방법
- 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(Heap) 자료구조를 이용합니다.
- 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일 합니다.
- 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해서 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다릅니다.
- 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사용합니다.
다익스트라 알고리즘 : 개선된 구현 방법(Python)
import heapq
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력 받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(m) :
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b, c))
def dijkstra(start) :
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq.heqppush(q, (0, start))
distance[start] = 0
while q : # 큐가 비어있지 않다면
# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q)
# 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
if distance[now] < dist :
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now] :
cost = dist +i[1]
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]] :
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1) :
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF :
print("INFINITY")
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else :
print(distance[i])
플로이드 워셜 알고리즘 개요
- 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산
- 플로이드 워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행 합니다.
- 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않습니다.
- 플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장합니다.
- 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍 유형에 속합니다.
- 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인
- a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사
- 점화식은 다음과 같습니다
플로이드 워셜 알고리즘
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1) :
for b in range(1, n + 1):
if a == b :
graph[a][b] = 0
# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m) :
# A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
a, b, c = map(int, input().split())
graph[a][b] = c
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1) :
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1) :
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if graph[a][b] == INF :
print("INFINITY", end = " ")
# 도달할 수 있는 겨우 거리를 출력
else :
print(grpah[a][b], end = " ")
print()
다음에는 기타 그래프 알고리즘에 대해 정리할 예정입니다.
감사합니다. 😊