6.다이나믹 프로그래밍

 

안녕하세요. 😊

오늘은 다이나믹 프로그래밍 에 대해 정리해보려고 합니다.

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다이나믹 프로그래밍

• 다이나믹 프로그래밍은 메모리를 적절히 사용하여 수행 시간 효율성을 비약적으로 향상시키는 방법입니다.
• 이미 계산된 결과(작은 문제)는 별도의 메모리 영역에 저장하여 다시 계산하지 않도록 합니다.
• 다이나믹 프로그래밍 구현은 일반적으로 두 가지 방식(탑다운과 보텀업)으로 구성됩니다.

 

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• 다이나믹 프로그래밍은 통계 계획법이라고도 불립니다.
• 일반적인 프로그래밍 분야에서의 동적(Dynamic)이란 어떤 의미를 가질까요?
  • 자료구조에서 동적 할당(Dynamic Allocation)은 '프로그램이 실행되는 도중에 실행에 필요한 메모리를 할당하는 기법' 을 의미합니다.
  • 반면에 다이나믹 프로그래밍에서 '다이나믹'은 별다른 의미 없이 사용된 단어입니다.

• 다이나믹 프로그래밍은 문제가 다음의 조건을 만족할 때 사용할 수 있습니다.

 

1. 최적 부분 구조(Optimal Substructure)

- 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있습니다.

 

2. 중복되는 부분 문제(Overlapping Subproblem)

- 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결해야 합니다.

 

피보나치 수열

• 피보나치 수열은 다음과 같은 형태의 수열이며, 다이나믹 프로그래밍으로 효과적으로 계산할 수 있습니다.
• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
• 점화식이란 인접한 항들 사이의 관계식을 의미합니다.
• 피보나치 수열을 점화식으로 표현하면 다음과 같습니다.

 

 

피보나치 수열 : 단순 재귀 소스코드(Python)

  

    
    
    
    
  
# 피보나치 함수(Fibonacci Function)을 재귀함수로 구현 

def fibo(x) :
    if x == 1 or x == 2 :
        return 1 
    return fibo(x - 1) + fibo(x - 2)

print(fibo(4))

 

메모이제이션(Memoization)

• 메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍을 구현하는 방법 중 하나
• 한 번 계산한 결과를 메모리 공간에 메모하는 기법입니다.
  • 같은 문제를 다시 호출하면 메모했던 결과를 그대로 가져옵니다,
  • 값을 기록해 놓는다는 점에서 캐싱(Cashing) 이라고도 합니다.

 

 

탑다운 VS 보텀업

• 탑다운(메모이제이션) 방식은 하향식이라고도 하며 보텀업 방식은 상향식이라고도 합니다.
• 다이나믹 프로그래밍의 전형적인 형태는 보텀업 방식입니다.
  • 결과 저장용 리스트는 DP 테이블 이라고 부릅니다.
• 엄밀히 말하면 메모이제이션은 이전에 계산된 결과를 일시적으로 기록해 놓는 넓은 개념을 의미합니다.
  • 따라서 메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍에 국한된 개념은 아닙니다.
  • 한 번 계산된 결과를 담아 놓기만 하고 다이나믹 프로그래밍을 위해 활용하지 않을 수도 있습니다.

 

 

피보나치 수열 : 탑다운 다이나믹 프로그래밍 소스코드(Python)

  

    
    
    
    
  
# 한 번 계산된 결과를 메모이제이션(Memoization)하기 위한 리스트 초기화 
d = [0] * 100

# 피보나치 함수(Fibonacci Function)룰 재귀함수로 구현(탑다운 다이나믹 프로그래밍)
def fibo(x) :
    # 종료 조건 (1 혹은 2일 때 1 반환)
    if x == 1 or x == 2 :
        return 1 
    #이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환 
    if d[x] != 0 :
        return d[x]
    
    # 아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환 
    d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x -2)
    return d[x]

print(fibo(99))

 

피보나치 수열 : 보텀업 다이나믹 프로그래밍 소스코드(Python)

  

    
    
    
    
  
# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100

# 첫 번째 피보나치 수와 두 번째 피보나치 수는 1
d[1] = 1
d[2] = 1
n = 99

# 피보나치 함수(Fibonacci Function) 반복문으로 구현(보텀업 다이나믹 프로그래밍)
for i in range(3, n + 1) :
    d[i] = d[i - 1] + d[i - 2]
    
print(d[n])

 

피보나치 수열 : 메모이제이션 동작 분석

• 메모이제이션을 이용하는 경우 피보나치 수열 함수와 시간 복잡도는 O(N)입니다.

  

    
    
    
    
  
d = [0] * 100

def fibo(x) :
    print('f(' + str(x) + ')', end =' ')
    if x == 1 or x == 2 :
        return 1 
    if d[x] != 0 :
        return d[x]
    d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
    return d[x]

fibo(6)

 

 

다이나믹 프로그래밍 VS 분할 정복

• 다이나믹 프로그래밍과 분할 정복은 모두 최적 부분 구조 를 가질 때 사용할 수 있습니다.
  • 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있는 상황
• 다이나믹 프로그래밍과 분할 정복의 차이점은 부분 문제의 중복 입니다.
  • 다이나믹 프로그래밍 문제에서는 각 부분 문제들이 서로 영향을 미치며 부분 문제가 중복됩니다.
  • 분할 정복 문제에서는 동일한 부분 문제가 반복적으로 계산되지 않습니다.

 

분할 정복 의 대표적인 예시인 퀵 정렬

• 한 번 기준 원소(Pivot)가 자리를 변경해서 자리를 잡으면 그 기준 원소의 위치는 바뀌지 않습니다.
• 분할 이후에 해당 피벗을 다시 처리하는 부분 문제는 호출하지 않습니다.

 

다이나믹 프로그래밍 문제에 접근하는 방법

• 주어진 문제가 다이나믹 프로그래밍 유형임을 파악 하는 것이 중요
• 가장 먼저 그리디, 구현, 완전 탐색 등의 아이디어로 문제를 해결할 수 있는지 검토합니다.
  • 다른 알고리즘으로 풀이 방법이 떠오르지 않으면 다이나믹 프로그래밍을 고려
• 일단 재귀 함수로 비효율적인 완전 탐색 프로그래밍을 작성한 뒤 (탑다운) 작은 문제에서 구한 답이 큰 문제에서 그대로 사용될 수 있으면, 코드를 개선하는 방법을 사용할 수 있습니다.
• 일반적인 코딩 테스트 수준에서는 기본 유형의 다이나믹 프로그래밍 문제가 출제되는 경우가 많습니다.

 

 

다음에는 최단 경로 알고리즘에 대해 정리할 예정입니다.

감사합니다. 😊